Günümüzde matematik,ardışık soyutlama ve genellemeler süreci olarak değiştirilen fikirler (yapılar) ve bağıntılardan oluşan bir sistem olarak görülmektedir. Yukarıdaki tanımda üç husus dikkati çekmektedir.Bunlardan biri matematiğin bir sistem olduğu, diğeri yapılardan ve bağıntılardan (ilişkilerden) oluştuğu, üçüncüsü de bu yapıların ardışık soyutlamalar ve genellemeler süreci ile oluşturulduğudur. O halde matematik insan tarafından zihinsel olarak yaratılan bir sistemdir. Bu durum matematiği soyut hale getirir. Genel olarak, soyut kavramların kazanılması zordur. Matematiğin öğrencilere zor gelmesinin sebebi belki burada yatmaktadır. Ancak matematik kavramları, öğretim sırasında somutlaştırılarak ve somut araçlar kullanılarak bu zorluk giderilebilir; en azından azaltılabilir. Matematikteki bağıntılar, yapılar arasındaki ilişkilerdir; yapıları birbirine bağlar.Matematik öğretimine başlamadan önce matematiğin bu yapılarının ve ilişkilerinin tanınmasında; daha iyi bir deyişle, “Matematik” adı verilen sistemin genel olarak tanınmasında fayda vardır; çünkü öğretim faaliyetlerinin planlanmasında ve planın uygulanmasında bu yapının öncelikle göz önünde bulundurulması gerekir. Matematiğin yapısında elemanlar ve önermeler vardır. Elemanlar matematiğin yapı taşlarıdır. Önermeler, doğru veya yanlış bir fikir ifade eden cümlelerdir.Elemanlara örnek olarak nokta, doğru, düzlem, üçgen, kare, sayı; önermelere örnek olarak “ İki noktadan bir doğru geçer”, “Üçgenin iç açıları toplamı 180 dir.” İfadeleri gösterilebilir. Matematikteki kavram ve bağıntılar, eleman ve önermeler ile bunlar arsındaki ilişkilerden oluşur. Matematikteki elemanların çoğu tanımlanmıştır. Fakat öyle bazı elemanlar vardır ki önceden tanımlanmış elemanlar yardımıyla tanımlanamazlar.Sayıları çok az olan bu elemanlara tanımsız elemanlar denir. Nokta, doğru, düzlem ve uzay tanımsız elemanlardır. Tanımsız elemanlar, sezgi ve günlük yaşayıştaki genel izlenimlere dayanılarak açıklanır. Bu açıklamalar herkes tarafından aynı şekilde kabul edilir. Örnek: Noktayı, “ Bir kalemin sivri ucunun kağıt üzerinde bıraktığı iz. “ olarak açıklarız. Bu ifade noktanın tanımı değil, onun neye benzediği hakkında bir açıklamadır. Tanımsız elemanlar, öğretim sırasında , yukarıda belirtildiği gibi açıklanmalı; bunlar hakkında tanım vermekten kaçınılmalıdır. Yukarıda belirtilen elemanlar tanımsız olarak kabul edildikten sonra diğerleri, bunlar ve tanımlanan diğer elemanlar yardımıyla tanımlanabilir. Örnek: 1-Doğru parçası, iki ucundan sınırlandırılmış doğrudur. 2- Bir ucundan sınırlandırılmış doğruya ışın denir. Yukarıdaki örneklerde doğru parçası ve ışın, tanımsız eleman olarak alınan doğruya dayalı olarak tanımlanmıştır. Bir düşünce sistemi olarak tanımlanan matematiğin diğer öğesi önermelerdir. Önermelerin ifade ettiği hükümler genel olarak doğru veya yanlış olabilir. Ancak matematik, doğru hüküm ifade eden önermelerle uğraşır. Bazı önermelerde belirtilen fikirlerin doğruluğu ispatlanmadan kabul edilir.Örneğin, iki nokta arasındaki en kısa yolun bu iki nokta arasındaki doğru parçasının uzunluğu olduğu aksiyomu 2500 yıldan beri ispatlanamamıştır.Bu önerme doğru olarak kabul edilir. Bazı önermelerin ispatına gerek duyulur; önermede belirtilen fikrin doğruluğu ancak ispat yapıldıktan sonra kabul edilir.Birinci türdeki önermelere aksiyom, ikinci türdeki önermelere teorem adı verilir. Teoremlerin doğrulukları mantık kurallarıyla ispatlanır ve doğruluğu bundan sonra kabul edilir. Teoremlerin ispatında, tanımsız elemanlar, aksiyomlar ve daha önce ispatlanmış teoremlerden yararlanılır. Bu yapıların ve ilişkilerin oluşturulup geliştirilmesi sezgiyi gerektirir. Sezgi, hayal gücü, tümevarımcı düşünme ve şaşırtıcı düşünme süreçlerini kapsar. Tümevarımcı düşünme, olayları tek tek gözleyip bunlar arasındaki ilişkileri görme ve bu ilişkilerden genellemelere ulaşma sürecidir. Şaşırtıcı düşünme ise, fikirlerin ansızın akla gelmesi, bir konuda başkalarından farklı fikirler ortaya koyma süreci olarak açıklanabilir. Matematiğin bu yapısı öğrencilere ilkokuldan itibaren onların seviyelerine olarak sezdirilmeli; öğrencilerde, matematiğe değer verme, onu takdir etme duyguları (davranışları) geliştirilmelidir. Yapısı hakkında kısa açıklama gösteriyor ki, matematikte keşfetme ve yaratma süreci önemlidir. İlköğretimde, öğrencilerde keşfetme sürecinin geliştirilmesi, matematik derslerinin önemli hedeflerinin arasında yer almalı, bu sürecin geliştirilmesi için gayret gösterilmelidir. Keşfetme sürecinde sezgiden ve tahminden yararlanmanın büyük yeri vardır. Matematikteki prensiplerin öğrenciler tarafından ilk defa bulunuyormuşçasına görülmesi ve sezilmesi; problemlerin, öğrencilerin kendi görüş ve seziş yoluyla çözülmesi; problemlerin çözümünde, çözümden çok bu çözümdeki sürecin (düşünme yolunun) geliştirilmesi, matematik öğretiminde matematiğin yapısı yönünden göz önüne alınacak önemli hususlar arasında yer alır. Öğrencilerde keşfetme sürecinin geliştirilmesi, onların her birini birer bilim adamı veya matematikçi olacak şekilde yetiştirme değil, ilke ve prensiplerin öğrencileri öğrencilerin kavramalarına yardım edilmesi ve çalışmalarda ilke ve prensiplerin hazır verilip ezberletilmesi yerine, onları kendilerinin bulmasını sağlayacak bir öğretim yöntemine başvurulması anlamındadır. Unutulmamalıdır ki, ilköğretim matematiğindeki prensip ve ilkeler zihinsel gelişimi normal olan öğrencilere bu yolla kazandırılabilir. Bu bağlamda, matematik öğretiminde kullanılacak öğretim modelinin genellikle buluş yoluyla öğretim olması gerektiği ifade edilebilir. NASIL BİR MATEMATİK ÖĞRETİMİ Matematiğin yapısına uygun bir öğretim şu üç amaca yönelik olmalıdır: 1- Öğrencilerin matematikle ilgili kavramları anlamalarına, 2- Matematikle ilgili işlemleri anlamalarına, 3- Kavramların ve işlemlerin arasındaki bağları kurmalarına yardımcı olmak. Bu üç amaç ilişkisel anlama olarak adlandırılmaktadır. İlişkisel anlama, matematikteki yapıları (kavramları ve bunların öğelerini) anlama, sembollerle ifade etme ve bunun kolaylıklarından yararlanma; matematikteki işlemlerin tekniklerini anlama ve bunları sembollerle ifade etme; metotlar, semboller ve kavramlar arasındaki bağıntılar veya ilişkileri kurma olarak açıklanabilir. Kavramların Bilgisi Kavramların bilgisi matematiksel kavramların kendilerini ve bunlar arasındaki ilişkileri kapsar. Diğer bir deyişle matematiksel kavramların kendileri birer ilişkidirler, bu ilişkiler başka kavramlarla ilişkilidir.Örneğin doğru tanımsız elemandır, fakat noktalardan oluşmuştur. O halde doğru kavramı nokta kavramı ile ilişkilidir. Daha iyi bir deyişle doğru kavramı bir noktalar ilişkisidir. Benzer şekilde doğru parçası ve ışın da doğru ve noktalar ilişkisidir. Sayılar arasındaki büyüklük küçüklük kavramları da sayılar arasında birer ilişkidir. Bu örnekler matematikteki bütün kavramlara genellenebilir. Matematikteki kavramların kazanılması için çocuğun zihninde bu ilişkilerin oluşması gerekir. Çocuğun bu kavramları kazanması için onları zihninde oluşturmasını gerektirir. İşte bu sebeple kavramları çocuğun kendisi kazanır. Öğretimin ve öğretmenin rolü çocuğa bu kavramları zihninde oluşturmasında yardımcı olmaktır. Matematikteki kavramların insan zihninde yaratılan ilişkiler olması bunları kazanabilmek için çocuğun belli zihinsel gelişmişlik seviyesine ulaşmış olmasını gerektirir. Bu bakımdan, bir yandan sınıftaki çocukların yaşları aynı olsa da farklı zihinsel gelişim düzeylerinde bulunabileceklerinden, bir kavramın bütün çocuklarda aynı zamanda oluşması beklenmemelidir. Bazı okullarımızda çocukları yarışma sınavlarına hazırlamak amacıyla kavramların oluşmasına dikkat edilmeden öğretim yapılmakta; bunu bazı aileler de istemekte; hatta körüklemektedirler. Bu durum çocuğun zihninde ilişkiler henüz oluşmadığından kavramların kazanılamamasına ve bu kavramlar başka kavramlarla ilişkili olduğundan sonraki öğrenmelerin zorlaşmasına hatta imkansızlaşmasına sebep olmaktadır. Bu sebeple öğretmenlerin ve ailelerin yarışma sınavlarına hazırlamak amacıyla çocukları zorlamamaları gerekir. İşlemlerin Bilgisi İşlemlerin bilgisi, matematikte kullanılan semboller, kurallar ve matematik yaparken başvurulan işlemlerin bilgisi olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımdaki semboller, bir matematik ifadesindeki işaretlerdir. Örneğin, 7x5+3=38 ifadesindeki 3,5,7,8 ve x birer semboldür. Semboller kavramların anlamlarını ifade etmezler; sadece o kavramları yazmada kullanılırlar. Örneğin, 3 sembolü “üç” kavramının ne olduğunu veya “üç”ün ne anlama geldiğini açıklamaz. Matematikteki işlemler, iki matematik kavramının birleştirilmesinde başvurulan ve adım adım yürütülen yollardır. Örneğin 3 ile 2’nin toplanmasında 3’e önce 1 eklenip 4’ün, sonra tekrar 1 eklenip 5’in elde edilmesi bir işlemdir. Bu işlem her defa 1 eklenerek adım adım gerçekleştirilmiştir. İşlemler birer tanımdırlar. Bunların ispatları yoktur. İşlemlerin yapılmasının adım adım olması, bunların bir işlemin bilgisayar programlarıyla gerçekleştirilmesine benzetilebilir. Bilgisayarda işlemin programı bilgisayarın hafızasına yüklenir ve her defasında birer olmak üzere adım adım gerçekleştirilir. Program yüklendikten sonra bilgisayarın “işlem bilgisi”ne sahip olduğu ve o işlemi yapabileceği kabul edilir. Bu benzetme bize, matematikte dört işlemi yapmanın süreç olarak mekanik bir olay olduğu sonucuna götürür. Gerçekten bazı öğrenciler dört işlemi doğru olarak yapabildikleri halde, bu işlemlerde problem çözmede büyük zorluk çekmektedirler. Bunun sebebi mekanik olan işlemlerin öğrenilmiş; fakat, işlemlerin anlamlarının kavranmamış olmasıdır. Kavramsal ve işlemsel bilgiler arasındaki ilişkiler Kavramsal ve işlemsel ilişkiler arasındaki bağı kurmak; uygun kavramları temsil etmede ve açıklamada kurallar ve işlemler bilgisini kavramlara uygun, anlamlı bir akıl yürütme ve semboller temeline oturtmadır. Bir matematiksel süreç oluşturduğunda, adımlar anlamlı olmalı ve her adımın niçin o şekilde yapıldığı açıklanabilmelidir; diğer bir deyişle her adımın o kavram ile ilgisi kurulabilmelidir. Kavramlar ile işlemler arasındaki bağın kurulması, ilköğretimde, özellikle problem çözmede önemlidir. Bu önem iki noktada kendini gösterir: (a) Problemin matematik cümlesinin yazılmasında (problemin çözümü için hangi işleme veya işlemlere başvurulacağına karar vermede) ve (b) İşlemlerin yapılmasında. İşlemler ve kurallar bilgisi çocuğun kavramsal bilgileri arasına girdiğinde, çocuk işlemlerin sadece nasıl yapıldığını değil aynı zamanda niçin yapıldığını da açıklayabilir. İşlem bilgisinin kavramsal temellerinin kazanılmaması ve işlem bilgisi ile kavramlar arasındaki ilişkinin kurulmaması, modellerin kurulamamasına, işlemlerin nerede kullanılacağına karar verilememesine sebep olur; bu da özellikle problem çözmede başarısızlık şeklinde kendini gösterir. Geleneksel matematik öğretiminde, bu işlemler bilgisi olan hesaplama becerisi, matematik öğretiminde ön planda tutulmuştur. Matematiğin doğuşunda ve tarihi gelişiminde de böyle olmuştur; hatta matematiğin ilk kullanılışı da sadece hesaplama amacına dönük olmuştur. Ancak, tarihi gelişimi içinde matematikte önemli gelişmeler olmuş, matematik hesaplamanın çok ötesine gitmiştir. Öğretimde, özellikle problem çözme becerilerinin kazandırılmasında hesaplama becerisi yanında model koruma ön plana çıkmıştır. Bu durum, matematik alanında öğrenme-öğretme süreçlerinde ilişkisel anlamını önemini artırmaktadır. İlişkisel anlamanın bazı faydaları İlişkisel anlama öğretime daha çok yük getirir, daha çok araç kullanılmasını gerektirir; ayrıca daha çok zaman alır. Diğer taraftan öğrencilerin de öğrenmeye özellikle başlangıçta daha çok zaman ayırmalarını gerektirir. Ancak bu tür öğrenmenin öğrenci açısından bir çok faydaları vardır. Bunlar aşağıdaki gibi özetlenebilir: 1- Öğrenme zevkli hale gelir, öğrenciler öğrenmeden haz duyarlar, 2- Öğrenilenlerin hatırlanması kolaylaşır ve öğrenme daha kalıcı olur, 3- Yeni kavramlar daha kolay öğrenilir, sonraki öğrenmelerde başkasının yardımına daha az ihtiyaç duyulur; kendi kendine öğrenme kolaylaşır, 4- Problem çözme becerisi gelişir, bu alandaki başarısı artar, 5- Matematiğe olan kaygı azalır ve ona karşı olumlu tutum gelişir. MATEMATİĞE OLAN KAYGI VE TUTUM Yapılan araştırmalar bireylerin öğrenmeleri arasındaki farklılıkların yaklaşık dörtte birinin kaynağının duyuşsal özelliklerden geldiğini göstermektedir. Duyuşsal özellikler arasında kaygı ve tutum önemli bir yer tutar. Kaygı, gelmesi beklenen bir tehlikeden korkma halidir. Matematiğe olan kaygı, korku ve ondan çekinme davranışlarını kapsar.İlerlemesi halinde o kimsenin kaygılandığı durumu başaramayacağı inancına kapılmasına yol açar. Tutum ise belli bir objeye karşı bireylerin olumlu veya olumsuz tepki gösterme eğilimi olarak tanımlanmaktadır. Birey olumsuz tutum geliştirdiği objeye karşı ilgisiz kalır, onu sevmez, takdir etmez ve onunla uğraşmaz, hatta kendisine göre bir iş olmadığını düşünür. Ülkemizde pek çok öğrenci matematiğin zor olduğunu ve matematiği başaramayacağını düşünerek kaygılanmakta ve matematiğe karşı olumsuz tutum geliştirmektedir. Bu durum ilkokulda başlamakta okul yılları ilerledikçe maalesef artarak devam etmektedir. Sonuçta öğrenciler bu önemli araca karşı olumsuz tutum ve kendilerine güvensizlik geliştirmektedirler. Daha da kötüsü; kendilerini matematiği öğrenecek kadar zeki olmadıkları, matematiğin onların uğraşacağı konular arasında bulunmadığı kanaatine varmaktadırlar. Bu yanlışlıkta, öğretimin, öğretmenin yaklaşımının önemli rolü vardır. İlköğretim birinci kademedeki matematik kavramları arasında bu yaş çocuklarının öğrenmekte zorlanacağı kavramlar yoktur. Önemli zihin arızası bulunmayan her çocuk bu davranışları kazanabilir. Başarısızlığın sebepleri arasında, matematik öğretiminde öğrencilere, ilişkisel anlamayı sağlayıcı yardımda bulunamayışımız önemli bir rol oynamaktadır. İlköğretim programının uygulanması ile ilgili genel açıklamalar 1-Matematik ünitelerinin hedef ve davranışları, genel hedeflerle tutarlı olacak biçimde sınıf seviyelerine göre düzenlenmiştir. 2- Matematikte kullanılan temel kavramlar ve semboller, her sınıf seviyesinde “ünitede kullanılan temel kavramlar ve semboller” başlığı adı altında verilmiştir. Kavramlar, anlamları öğrenildikten sonra işlem bilgisi ile desteklenmelidir. Daha sonra kavram-işlem bilgisi ilişkilendirilmelidir. Bu şekilde çalışma matematik öğretiminin yapısına uygundur. 3-Öğrenci seviyesi, çevre faktörleri dikkate alınarak, öğrenme ve öğretme etkinliklerinde bir hedefin bütün davranışları ele alınabileceği gibi, farklı hedeflerin birbirleriyle bağlantılı olan davranışları da ele alınabilir. Matematik konuları ön şart ilişkili bir yapıya sahiptir. Her hangi bir kavram onun ön şartı durumundaki diğer kavramlar kazandırılmadan verilmez. Öğrencilerin, toplama işlemini öğrenmeden çarpma işlemini öğrenmeleri zordur. Kesirlerle işlem yapılabilmesi için; payda eşitleme, sadeleştirme, genişletme tamsayılı kesri bileşik kesre çevirme gibi konuların daha önceden işlenmesi gerekmektedir. Öğrenme ve öğretme etkinliklerinde öğretim araç-gereçlerini, dikkat çekmek, alıştırma yapmak, bilgileri açıklamak için hazırlayıp kullanabiliriz. Amaca yönelik olarak tasarlanmış ve geliştirilmiş araçların varlığı ve bunların etkin kullanımı, etkili öğrenmenin vazgeçilmez unsurudur. Matematik ünitelerinin öğretiminde teknolojiden faydalanılmalıdır. Hesap makinesi, bilgisayar, video kaset vb. araçlar imkanlar ölçüsünde sınıf ortamına getirilmelidir. Öğrencilerin bu araçları kullanmalarına fırsat verilmelidir. Öğrencilerin eleştirici düşünme, muhakeme etme, problem çözme becerilerini geliştirmek ve bilimsel metotlara göre çalışma yollarını öğrenmek milli eğitimin temel hedefidir. Her ders bu hedefi gerçekleştirmek için birer araçtır. Matematik programındaki hedef ve davranışları gerçekleştirmeyi sağlayacak öğrenme ve öğretme etkinlikleri diğer derslerle bağlantı sağlayacak şekilde düzenlenmiştir. Ünitelerde yer alan öğrenme ve öğretme etkinliklerinin aynen uygulanması zorunlu değildir.Bu etkinlikler, öğrenmeye yol göstermek amacıyla açıklanmıştır.Öğrenme, karşılıklı birer etkileşmedir. Programda hedef ve davranışların gerçekleşmesi için seçilen yöntem ve teknikler önemlidir. Ferdi çalışmaların yanında öğretmenin rehberliğinde grup çalışmalarına başvurulmalıdır. Grup sayısı, sınıf mevcuduna göre öğretmen tarafından düzenlenmelidir. İdeal grup, üç veya beş kişiden oluşturulmalıdır. Seçilen yöntemler ve teknikler, hedef ve davranışların gerçekleştirilmesinde önemli bir unsurdur.Öğrenmede; işitme ve görme önemli olmakla beraber, yaparak öğrenme daha yararlı ve sürekli sonuçlar sağlar.Programdaki işleniş örnekleri, günlük hayatla bağlantılı ve öğrenci katılımını sağlayacak nitelikte düzenlenmiştir. İLKÖĞRETİM OKULU MATEMATİK DERSİNİN GENEL HEDEFLERİ İnsan içinde yaşadığı topluma ekonomik, sosyal, kültürel ve bilimsel bakımdan uyum sağlayabilen ve kendisine de yararlı olabilen bir fert olarak yetişebilmesi için gerekli olan birtakım hedefler vardır. Bunları özetle sıralamak mümkündür. 1- Matematiğe karşı olumlu tutum geliştirebilme 2- Matematiğin önemini kavrayabilme 3- Varlıklar arasındaki temel ilişkileri kavrayabilme 4- Zihinden hesaplamalar yapabilme 5- Dört işlem yapabilme 6- Problem çözebilme 7- Problem kurabilme 8- Çalışmalarda ölçü, grafik, plan, çizelge ve cetvelden yararlanabilme 9- Temel işlemleri (yüzde, faiz, iskonto vb.) yapabilme 10- Zaman, yer ve sayılar arasındaki ilişkiler arasındaki ilişkiler hakkında açık ve kesin fikirler kazanabilme 11- Matematik dersinde edinilen bilgi ve becerileri diğer derslerde kullanabilme 12- Geometrik şekiller arasındaki ilişkileri kavrayabilme 13- Geometrik şekillerin alan ve hacimlerini hesaplayabilme 14- Çevredeki eşyaların şekilleri ve kullanımları arasındaki ilişkileri kavrayabilme 15- Basit cebirsel işlemleri yapabilme 16- Birinci dereceden denklem sistemlerini kullanarak problem çözebilme 17- Trigonometri hesaplarını yapabilme 18- İstatistik bilgilerini kullanarak grafik çizebilme 19- Permütasyon ve olasılıkla ilgili hesaplamalar yapabilme 20- Tümevarım tümdengelim yöntemleriyle düşünerek çözümlemeler yapabilme 21- Bilimsel yöntemin ilkelerini problem çözmede kullanma 22- Çalışmalarda; düzenli, dikkatli, sabırlı olabilme 23- Araştırıcı, tarafsız, önyargısız, yerinde karar verebilen, açık fikirli ve bilginin yayılmasının gerekliliğine inanan bir kişiliğe sahip olabilme 24- Yaratıcı ve eleştirel düşünebilme 25- Karşılaştığı problemleri çözebilecek yöntemler geliştirebilme 26- Estetik duygular geliştirebilme PROBLEM VE PROBLEM ÇÖZME Problem çözme yeteneğinin geliştirilmesi,
